โมเมนตัม

หน่วยที่  12

 

โมเมนตัม   ( Momentum )

 

12.1  โมเมนตัมเชิงเส้น    ( Linear  Momentum )

 

                ในขณะใดๆ ที่วัตถุกำลังเคลื่อนที่โดยมีความเร็วค่าหนึ่ง จะถือว่าวัตถุนั้นมีสมบัติทางฟิสิกส์อย่างหนึ่ง เรียกว่า โมเมนตัม  โดยนิยามว่า คือปริมาณที่เกิดจาก  ผลคูณของมวล  กับ ความเร็วของวัตถุ ในขณะนั้น  โดยจะมีทิศทางไปทางเดียวกับทิศของความเร็ว  มีหน่วยเป็น  kg m/s  หรือ  Ns

ให้                  =           โมเมนตัม    ( kg m/s หรือ  Ns  )

                           m           =           มวล   ( kg  )

                                        =          ความเร็ว   (m /s)

                จะได้                                         =       m                                           ………(12.1)

                                                                               

      12.1.1   การดล  ( Impulse )  และ แรงดล   ( Impulsive  Force )

 

                เมื่อวัตถุใดมีความเร็วเปลี่ยนไปจากเดิมเนื่องจากถูกกระทำจากแรงภายนอก   จะกล่าวได้ว่า  เกิดการดลขึ้นกับวัตถุนั้น   โดยนิยามว่า  การดล  คือ การเปลี่ยนโมเมนตัมของวัตถุ    และ  แรงดล  คือ  อัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมของวัตถุในหนึ่งหน่วยเวลา

                ให้  วัตถุมวล  m  กำลังเคลื่อนที่ โดยพบว่าเมื่อเวลา t1   มีความเร็ว   ทำให้มีโมเมนตัมแรก =     ต่อมาถูกแรงภายนอก    กระทำ  ทำให้ เมื่อเวลา t2   มีความเร็ว     ทำให้มีโมเมนตัมหลัง  =   

 

(t2)  

 

(t1)   

 

 

                                                                                                                              

 

                                                ()                                                             ()

รูปที่  12.1   แสดงโมเมนตัมของ  m  ในขณะใด ๆ

 

. โมเมนตัมแรก  เมื่อเวลา t 1   (=m  )  

 .  โมเมนตัมหลัง เมื่อเวลา t 2  (= m)

จากกฎข้อ 2  ของนิวตัน  ;  จะได้            =     m          =        m 

                        \                                                   dt     =     m d                                      ………(12.2)

                รวมผลคูณเทอมซ้ายมือในสมการ 12.2     จาก  t 1    ถึง    t 2    และรวมผลคูณเทอมขวามือ   จาก  ถึง      เมื่อมวลมีค่าคงที่  จะได้                                                    

                                                        dt                       =      m      

                                                                =      m           =      m (- )  

                                                                =      m-   m      =       -

                                                         dt        =                                                                   ………(12.3)

        เรียก    dt    ว่า   การดล  (Impulse)      และเรียก      ว่า   แรงดล  ( Impulsive  Force  )

 

      12.1.2   การดล   เมื่อ แรงดล มีค่าคงที่

 

                ถ้าแรงภายนอก  ที่กระทำต่อวัตถุมีค่าคงที่ตลอดเส้นทาง ตั้งแต่เวลา t1  ถึง  t2   จากสมการ 12.2 เทอมซ้ายมือจะแสดงตามหลักคณิตศาสตร์ได้ว่า    =  = (t2 -t1) = Dt        นำผลไปแทนในสมการ 12.2    ดังนั้นจะได้; 

                                                           Dt    =                       

                                                                                                                                    =                                                                     ………(12.4)

                       

จากสมการ  12.4   จะพบว่า   อัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมของวัตถุ  เป็นผลที่เกิดจากแรงภายนอกที่มากระทำ  ดังนั้นจากสมการนี้จึงสามารถนำมานิยามความหมายของแรงได้อีกอย่างหนึ่งว่า  "แรง คือ  อัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงเส้นของวัตถุ ในหนึ่งหน่วยเวลา"  และถ้าพิจารณาผลกระทำในช่วง เวลาสั้นๆ  dt   จะพบว่าเกิดการเปลี่ยนโมเมนตัมปริมาณน้อย ๆ     ด้วยเช่นกัน  ดังนั้นจึงเขียนสมการ (12.4)  ใหม่ได้ว่า

                                                                     =                                                                       ………(12.5)

ตัวอย่างที่  12.1    ก้อนหินมวล  2  กิโลกรัม   เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว  6   เมตร/วินาที  จะต้องใช้แรงขนาดเท่าใดจึงจะสามารถหยุดก้อนหินก้อนนี้ได้ในช่วงเวลา   5    10-3   วินาที    

                                               

 

 

 

 
วิธีทำ                                                                                                                    

 

 

                                   เมื่อเวลา   t 1   =  0  s               เมื่อเวลา   t 2  =  5    10-3    s

 

                เนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่อยู่ในแนวเส้นตรง จึงกำหนดทิศทางปริมาณต่างๆ ด้วยเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์  โดยให้ทิศไปทางขวามีเครื่องหมายเป็นบวก (+)   และทิศไปทางซ้ายมีเครื่องหมายเป็นลบ  (-)

 

                ดังนั้นจะได้   v1  =   6  m /s  ,   v2  =   0    m /s   

                                        m  =   2  kg     และ   t   =   5  10-3    s

 

 แทนค่า  จะได้ ;                                   F           =                

                                                                   F         =         -2.4    103          =             -2.4    kN

 

                \    ต้องการใช้แรงต้านการเคลื่อนที่ มีค่า    2.4     kN                          ตอบ

 

ตัวอย่างที่ 12.2     มวล  2   กิโลกรัม  ตกจากที่สูง  20   เมตร  กระทบพื้น แล้วกระดอนขึ้นด้วยความเร็ว   5  m/s    ถ้าขณะที่มวลกระทบพื้นนั้น ใช้เวลา  0.2  วินาที   และกำหนดให้  g  = 10  m/s2  จงหา          . การดล                         . แรงดล

 

วิธีทำ

 

 

 


 


 


ขณะวัตถุตก                                    ขณะกระดอนขึ้น                  

.  พิจารณาขณะวัตถุตก

-                   หาความเร็วขณะกระทบพื้น

จาก                                              v2        =        v02   +    2gs                                      …. (1)  

 

เมื่อ          v0   =   ความเร็วขณะตก   =  0    ,   v   =   ความเร็วขณะกระทบพื้น

                   s   =   ระยะทางที่ตก   = 20   m

แทนค่าใน  (1) ;                                       v2        =       0   +    2 (10) (20)      =  400 

                                              v        =           20     m / s                           …. (2)                  

 

        -  พิจารณาขณะวัตถุกระดอนขึ้น

                                            Dt        =          =      -

                                                                                          =      m-   m                         …. (3) 

 

                เมื่อ      Dt    =   การดล         และ    m   =   มวลของวัตถุ               =   2    kg 

                เนื่องจากวัตถุตก และกระดอนขึ้นในแนวดิ่ง ซึ่งอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน กำหนดทิศทาง โดยให้ทิศเคลื่อนที่ขึ้น มีเครื่องหมายเป็นบวก (+) และทิศเคลื่อนที่ลงมีเครื่องหมายเป็นลบ  (-)

                        \         =     ความเร็วขณะกระทบพื้น         =     -  20  m / s

                                        =     ความเร็วขณะกระดอนขึ้นเนื่องจากถูกพื้นออกแรงดลกระทำ

                                                =     5   m / s

 

แทนค่าใน (3)  ;                            Ft   =     (2)(5)  -  (2)(-20)    =      50       Ns

 

\     การดลที่เกิดกับวัตถุมีทิศขึ้น  และมีขนาด         50           Ns           ตอบ      

 

.          จาก                                                                =                                 …. (4)  

 

เมื่อ            =    แรงดลที่วัตถุถูกกระทำ

                             =   การเปลี่ยนโมเมนตัมของวัตถุ  =     การดล    =   50     Ns

                           t     =  เวลาที่ใช้    =        0.2          s

 

แทนค่าใน (4) ;                                              F       =          =      250     N

 

                                \  แรงดลที่พื้นกระทำต่อวัตถุมีทิศขึ้น  และมีขนาด   250   N              ตอบ

      12.1.3  กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม   (Conservative  Law  of  Momentum)

 

                กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม   เป็นกฎที่อธิบายถึงคุณสมบัติของมวล หรือระบบของมวล ที่จะดำรงโมเมนตัมของมันให้มีค่าคงที่เสมอ โดยกล่าวว่า"ในระบบอิสระใดๆ ถ้าไม่มีแรงจากภายนอกมากระทำแล้ว โมเมนตัมรวมของระบบจะมีค่าคงที่เสมอ"   ซึ่งมีความหมายว่า ในระบบที่อยู่โดดเดี่ยวโดยไม่มีแรงภายนอกจากระบบอื่นมากระทำแล้ว ไม่ว่าวัตถุต่างๆที่อยู่ในระบบเหล่านั้นจะออกแรงกระทำซึ่งกันและกัน ซึ่งจะทำให้โมเมนตัมของมันเปลี่ยนไปหรือไม่ก็ตาม   แต่ผลรวมของโมเมนตัมของวัตถุในระบบนั้น จะมีค่าเท่าเดิมเสมอ

 

                ให้  วัตถุมวล   m    และ   M    อยู่ในระบบอิสระ ระบบหนึ่ง   โดยวัตถุมวล   m   เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว       เข้าชนกับวัตถุมวล  M   ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว    ทำให้วัตถุมวล  m  เปลี่ยนความเร็วเป็น    และวัตถุมวล   M    เปลี่ยนความเร็วเป็น   

 

 

m

 

 

 

  

 

M

 
                                                               

 

(ก)  ก่อนชน =+

 

(ข)  ขณะชน   

 

(ค) หลังชน=+

 

   =  -

 

 

 


                                                                                                             

รูปที่ 12.2    แสดงกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม  ของระบบที่ประกอบด้วยมวล   m    และ  M

 

                    ให้        =  m   เป็นโมเมนตัมก่อนชนของมวล m   ต่อมาเมื่อชนกับมวล  M  ทำให้โมเมนตัมเปลี่ยนไป เป็น   =  m   ดังนั้นจะมีโมเมนตัมเปลี่ยนไปจากเดิม     =  -

                   และให้ = M  เป็นโมเมนตัมก่อนชนของมวล M    ต่อมาเมื่อชนกับมวล  m  ทำให้โมเมนตัมเปลี่ยนไปเป็น  =  M  ดังนั้นจะมีโมเมนตัมเปลี่ยนไปจากเดิม   =  -           

- พิจารณาขณะที่มวลทั้งสอง กำลังชนกัน    โดยใช้ช่วงเวลาในการชนกันเป็นเวลา  Dt   

            ให้   เป็นแรงดลที่มวล  m  ทำกับมวล  M  จากสมการ12.4   จะได้ว่า   =            และ           เป็นแรงดลที่มวล   M  ทำกับมวล  m    จากสมการ 12.4  จะได้ว่า    =   

                แต่เนื่องจากแรงทั้งสองซึ่งเป็นแรงคู่ กิริยา-ปฏิกิริยา ดังนั้นจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน  จะได้ว่า

                                                                     =        -

 

แทนค่า แรงทั้งสอง ; \                       =        -   

หารด้วย  Dt   ทั้งสองข้าง ;                     =       -  

                                                            -       =        - (- )

 

                                                            +    =      +                           ………(12.6)

 

                ให้    = + เป็นผลรวมของโมเมนตัมของระบบก่อนชน  และ= +  เป็นผลรวมของโมเมนตัมของระบบหลังชน   แทนใน สมการ  12.5  จะได้

 

                                                                          =                                         ………(12.7)

 

                    จาก สมการ  12.7  จะพบว่า ผลรวมของโมเมนตัมของมวลทั้งสองก่อนจะชนกัน มีค่าเท่ากับผลรวมของมันหลังจากชนกันแล้ว   และจะพบว่าผลรวมนี้จะมีค่าคงที่เสมอ

 

ตัวอย่างที่  12.3    วัตถุ  m   มวล  1  kg  เคลื่อนเข้าชนวัตถุ  M  มวล  4  kg   ที่วางอยู่บนพื้นด้วยความเร็ว  20  m/s    ถ้าหลังการชนมวล   M   ไถลไปด้วยความหน่วง  5   m/s2  และมวล  m  หยุดนิ่งอยู่กับที่  จงหาว่ามวล  M    จะไถลไปได้ไกลเท่าไร

 

 

= 0

 
วิธีทำ        เนื่องจากการชนกันนี้ มวลทั้งสองก้อนเคลื่อนที่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน   จึงกำหนดทิศทางปริมาณต่างๆ ด้วยเครื่องหมายบวกและลบ โดยให้ทิศไปทางขวามีเครื่องหมายเป็นบวก(+)    และทิศไปทางซ้ายมีเครื่องหมายเป็นลบ(-)                                                                                                                   

= 20  m/s

 

= 0

 

 
                                  

a  = -5  m/s2

 

M

 

s

 

                                ก่อนชน                                                       หลังชน

 

-   หาความเร็วของมวล  M  

                จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม จะได้ว่าผลรวมของโมเมนตัมก่อนชนมีค่าเท่ากับผลรวมของโมเมนตัมหลังชน  ให้ทิศไปทาง + x  มีเครื่องหมายเป็น +

                                                                     =     

แทนค่า ;                                    mv0  +  MV0   =      mv   +   MV                                  ………(1)

           เมื่อ    m   =  1    kg , v0  =  20  m/s ,  v  =  0   m/s   และ   M   =  4    kg ,  V0  =  0  m/s  

แทนค่าใน (1) ; \        (1)(20) + (4)(0)     =       (1)(0) + (4)(V)

                                                                  V         =        5           m/s                                       …..(2)

 

-  หาระยะทางที่มวล  M  เคลื่อนที่ได้     พิจารณาหลังจากมวล   M   ถูกชนแล้ว

                            จาก                                                     =      +   2as                                            …..(3)

            เมื่อ   =  ความเร็วต้น เมื่อเริ่มเคลื่อนที่หลังถูกชน  =  5  m/s

                        =  ความเร็วปลายหลังจากไถลไปจนหยุด   =   0  m/s   

                         a   =   ความหน่วง   =  - 5   m/s2     และ     s   =   ระยะทางที่ไถลไปได้    

แทนค่าใน  (3) ;                                 02          =            52  +  2 (-5)  s 

                                                                  s         =            2.5            m                  

                \     มวล  M   จะไถลไปได้ไกลเป็นระยะ      2.5            m                         ตอบ

 

ตัวอย่างที่  12.4   เมล็ดพืชชนิดหนึ่งขณะกำลังตกลงสู่พื้นตามแนวดิ่ง ด้วยความเร็ว  10  m/s  เกิดการดีดตัวแยกออกจากกันของเมล็ดเป็นสองส่วนเท่ากัน  ส่วนหนึ่งของเมล็ดมีความเร็วขนาด  10  m/s  ในทิศขึ้น อีกส่วนหนึ่งจะมีความเร็วเท่าไร

 

v1

 
วิธีทำ      เนื่องจากเมล็ดพืชเคลื่อนที่อยู่ในแนวดิ่ง ทั้งก่อน และหลังดีดตัวออกจากกัน    กำหนดให้ทิศพุ่งขึ้นมีเครื่องหมายเป็นบวก(+) และทิศพุ่งลงมีเครื่องหมายเป็นลบ(-)

                                                                                                                     

 

 

 

 


                                                                   (.)  ก่อนการดีดตัว                     (.) หลังการดีดตัว                                                  

จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม จะได้ ;      

             ผลรวมของโมเมนตัมก่อนดีดตัว     =             ผลรวมของโมเมนตัมหลังดีดตัว 

                                                            M           =            +                                    …..(1)

                เมื่อ        M    =    มวลของเมล็ดพืช 

                          m1    =    มวลส่วนที่ดีดตัวออกมาก้อนที่ 1    =   M

                          m2     =    มวลส่วนที่ดีดตัวออกมาก้อนที่ 2     =   M

                                    =    ความเร็วก่อนดีดตัว                           =   + 10    m/s 

                             =    ความเร็ว ของมวล   m1                                  =   - 1 0   m/s 

                            =    ความเร็ว ของมวล   m2

แทนค่าใน (1);  \                  M  (10)         =         (M ) (-10)  +  (M)()

                                                    20         =         (-10)  + 

                                                           =         + 30               m/s    

     \ มวลส่วนที่ดีดตัวออกมาก้อนที่สอง จะมีความเร็ว  30  m/s  มีทิศพุ่งลงในแนวดิ่ง     ตอบ                  

      12.1.4    การชน  (Collision)

 

              การชน คือการที่วัตถุสองก้อนเคลื่อนที่ด้วยความเร็วค่าหนึ่งเข้าใกล้กัน  แล้วออกแรงกระทำซึ่งกันและกัน  โดยที่ผิวของวัตถุทั้งสองอาจจะสัมผัสกัน  เช่น รถชนกัน   หรือไม่สัมผัสกัน  เช่น แม่เหล็กขั้วเดียวกันผลักกัน ก็ตาม ทำให้เกิดการแลกเปลี่ยนพลังงานระหว่างกันของวัตถุทั้งสอง  ซึ่งจะมีผลทำให้วัตถุทั้งสองนั้นมีความเร็วเปลี่ยนไปจากเดิม

 

         12.1.4.1   ชนิดของการชน

 

                   เมื่อวัตถุเกิดการชนกันขึ้น พลังงานจลน์ของระบบซึ่งเป็นพลังงานเนื่องจากความเร็วของวัตถุ  อาจจะเปลี่ยนไปเป็นพลังงานรูปอื่น  เช่น พลังงานความร้อน, แสง, เสียง หรืออื่น ๆ ทำให้พลังงานจลน์รวมของระบบหลังการชนมีค่าลดลง   ดังนั้นจึงจำแนกชนิดของการชนตามเหตุผลนี้ ได้ดังนี้

                    1)  การชนแบบยืดหยุ่น  (Elastic Collision)    เป็นการชนของวัตถุ  ที่ทำให้ พลังงานจลน์รวมของระบบ ก่อนชน และหลังชน มีค่าเท่ากัน

                    2)  การชนแบบไม่ยืดหยุ่น (Inelastic Collision) เป็นการชนของวัตถุที่ทำให้พลังงานจลน์รวมของระบบ ก่อนชนและหลังชน มีค่าไม่เท่ากัน

                3)  การชนแบบไม่ยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์  (Perfect  Inelastic Collision)    เป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่นของวัตถุ ที่หลังการชน วัตถุทั้งสองจะเคลื่อนที่ติดไปด้วยกัน จัดว่าเป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่น ที่มีการสูญเสียพลังงานจลน์ในการชนมากที่สุด

         12.1.4.2   การชนในแนวตรง หรือ การชน ใน  1  มิติ

 

               คือการที่วัตถุเคลื่อนที่เข้าหากัน หรือเคลื่อนตามกันไปในแนวเส้นตรงที่ต่อเชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั้งสองแล้วเกิดการชนกัน ซึ่งเรียกว่าเป็น การชนแบบตรงๆ (Head-on Collision)  และหลังจากเกิดการชนกันแล้ว วัตถุทั้งสองยังคงเคลื่อนที่อยู่ในแนวเส้นตรงแนวเดิม

-  หลน่                                       = 

 

 

 


                                       ก่อนชน                                                       หลังชน

 

รูปที่ 12.5    การชนในแนวตรง   และความเร็วสัมพัทธ์ก่อนชน และหลังชนของวัตถุ

 

            ให้ วัตถุมวล  m1  เคลื่อนที่ไปตามเส้นตรงในแนวนอน ไปทาง + x  ด้วยความเร็ว    เข้าชนวัตถุมวล m2  ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว ไปในแนวเส้นตรงเดียวกัน ทำให้วัตถุมวล m1เปลี่ยนความเร็วเป็น  และวัตถุมวล m2  เปลี่ยนความเร็วเป็น  ในทิศ + x  เช่นเดิม  ในการพิจารณา กำหนดให้การเคลื่อนที่ไปทาง +x  มีเครื่องหมาย เป็น +    และไปทาง  - x   มีเครื่องหมายเป็น   - 

- กำหนดให้การชนเป็นแบบยืดหยุ่น    พิจารณาพลังงานจลน์ของระบบ   จะได้ว่า

              ผลรวมของพลังงานจลน์ก่อนชน    =       ผลรวมของพลังงานจลน์หลังชน

แทนค่า ;                   =      

                                                            =                                         …..(12.8)

- จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม จะได้

             ผลรวมของโมเมนตัมก่อนชน         =        ผลรวมของโมเมนตัมหลังชน

แทนค่า ;                             =       +

                                           =                                          …..(12.9)

 

 จะได้ ;                                =         

                                                             =      

                \                                                 =                                                    …..(12.10)

                      เรียก  -   ว่า  ความเร็วสัมพัทธ์ก่อนชน   และเรียก   -  ว่า  ความเร็วสัมพัทธ์หลังชน โดยอัตราส่วนของปริมาณทั้งสองนี้ จะเป็นค่าที่แสดงถึงพฤติกรรมของการชนว่ามีการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ไปอย่างไร เรียกอัตราส่วนนี้ว่า สัมประสิทธิ์ของความยืดหยุ่น(Coefficient of Elastic)            โดยใช้สัญลักษณ์    e           ดังนั้น  จากนิยาม จะได้ว่า    

                          สัมประสิทธิ์ของความยืดหยุ่น    =                 

 

                                                \                                   e        =                                      …..(12.11)                             

 

ข้อสังเกต    ถ้าการชนเป็นแบบยืดหยุ่น  สัมประสิทธิ์ของความยืดหยุ่นจะมีค่าเท่ากับ  1   แต่ปกติแล้ว การชนมักจะเป็นแบบไม่ยืดหยุ่น เพราะจะสูญเสียพลังงานจลน์ไป  ซึ่งจะพบว่าสัมประสิทธิ์ของความยืดหยุ่นมีค่าน้อยกว่า  1 

 

         12.1.4.3  การชนใน 2 มิติ

 

                เป็นการชนที่แนวทางการเคลื่อนที่ของวัตถุสองก้อนก่อนเกิดการชน ไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกับเส้นที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั้งสองนั้น  ซึ่งมีผลทำให้หลังจากเกิดการชนกันแล้ว  วัตถุทั้งสองจะมีการเคลื่อนที่ไปในทิศทางต่างไปจากเดิม  แต่ยังคงอยู่บนระนาบของการเคลื่อนที่เดิม

x

 

x

 
 


=

 

 

=

 

 

=

 

 

=

 

 

 

 

 


                               ก่อนชน                                                                       หลังชน 

 

รูปที่  12.6     การชนใน  2   มิติ

                  ให้  วัตถุมวล  m1  เคลื่อนในแนวเส้นตรงในทิศ +x  ด้วยความเร็ว   ไปชนวัตถุมวล  m2   ที่เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน  ด้วยความเร็ว   โดยจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั้งสองไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน ทำให้วัตถุมวล m1  เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเปลี่ยนไปเป็น  ในทิศทำมุม q1    กับแกน  x   และวัตถุมวล  m2   เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว  ในทิศทำมุม  q2   กับแกน x   ดังรูปที่ 12.6  โดยกำหนดให้ ทิศไปทาง +x มีเครื่องหมายเป็นบวก(+)  , ทิศไปทาง –x มีเครื่องหมายเป็นลบ(-)  และทิศไปทาง +y มีเครื่องหมายเป็นบวก(+)  , ทิศไปทาง –y มีเครื่องหมายเป็นลบ(-)

 

-  แยกองค์ประกอบของความเร็วหลังชน   

                                                           =        =    cosq1  +  sinq1

                    และ                                                          =       =    cosq2  - sinq2

 

จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม  จะได้ ;

 

                ผลรวมของโมเมนตัมก่อนชน         =       ผลรวมของโมเมนตัมหลังชน

 

- แกน x ;                         m1v1 +  m2v2       =        m1cosq1 +   m2cosq2        …..(12.12)

 

- แกน y ;                                           0                 =       m1v1 sinq1   -  m2v2 sinq2  

                                     m1sinq1        =        m2sinq2                                           …..(12.13)

 

ตัวอย่างที่ 12.5   ลูกบอลมวล  m1   มีความเร็ว  10  m/s  วิ่งเข้าชนลูกบอลมวล  m2  ที่หยุดนิ่งอยู่ ภายหลังการชนลูกบอลมวล   m1    กระเด็นไปด้วยความเร็ว  8  m/s  ทำมุม  37°  กับแนวเดิม ถ้าลูกบอลทั้งสองมีมวลเท่ากัน   จงหาความเร็วของลูกบอลมวล   m2      (sin 53° = 0.86,  cos 53°=  0.6)

 

=  8  m/s

 

 

y

 
 วิธีทำ                      

                                                                                                

x

 

 

 
                           

 


                                         ก่อนชน                                                                  หลังชน   

จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม 

แกน x ;                                 m1v1 +  m2v2       =        m1cosq1 +   m2cosq2        …..(1)

แกน y ;                                 m1sinq1        =        m2sinq2                           ….(2)

  

                เมื่อ   v1  = 10  m/s , v2  = 0   และ     =   8     m/s ,  q1  =  37°

              กำหนดให้   m1   =  m2  =  m     และ     ทำมุม  q2    กับแกน   x  

 

แทนค่าใน (1),                    m (10) + 0          =            m (8)  cos 37° +  m cosq2           

                                                  10          =            (8) (0.8) + cos q2   

                                                  cosq2         =            3.6                                                           …..(3)

แทนค่าใน (2),                m  (8) sin 37°           =                msinq2    

                                                     (8) (0.6)           =                  sinq2   

                                       sinq2         =            4.8                                            …..(4)

 ,                                            =            

                                                           tan q           =             1.33

                \                                            q           =             tan –1 1.33             =  53°                    …..(5)

แทนค่า  (5)  ใน  (4) ;      sin 53°           =             4.8

                                                   (0.8)           =             4.8

                                                                        =             6              m/s

 

             \ ลูกบอลมวล  m2  จะมีอัตราเร็ว  6   m/s  ทำมุม  53°   กับแกน   x          ตอบ

 

ข้อสังเกต    ในกรณีที่เป็นการชนกันแบบยืดหยุ่น โดยที่มวล  m1  มีขนาดเท่ากับมวล  m2   และก่อนชนกัน มวล  m2  หยุดนิ่งอยู่   หลังการชนจะพบว่า ความเร็วของมวลทั้งสองจะมีทิศตั้งฉากกัน

นั่นคือ      q1 +  q2  =     90°         

ไม่มีความคิดเห็น:

ค้นหาบทเรียนฟิสิกส์

Custom Search