สมดุลต่อการหมุน

สมดุลต่อการการหมุน 
เมื่อออกแรงกระทำต่อวัตถุและทำให้วัตถุเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่งเพียงอย่างเดียวแรงนั้นต้องผ่านจุดศูนย์กลางมวล (Center of mass ) ซึ่งเสมือนเป็นที่รวมของมวลวัตถุทั้งก้อน และในกรณีที่มีวัตถุหลายๆก้อนมายึดติดกันเป็นรูปทรงต่าง ๆซึ่งเรียกระบบ และในแต่ละระบบก็มีจุดศูนย์กลางมวล เช่นกัน แต่ถ้ามีแรงกระทำต่อวัตถุหรือระบบไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลวัตถุจะเคลื่อนที่แบบหมุน

โมเมนต์ของแรง
เมื่อมีแรงลัพธ์ที่ไม่เป็นศูนย์มากระทำต่อวัตถุและแรงกระทำนั้นไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลจะทำให้วัตถุหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล แต่ถ้าวัตถุนั้นมีที่ยึดรอบแกนหมุนแกนหนึ่ง จุดหมุนก็ไม่จำเป็นต้องหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล และการหมุนของวัตถุทำให้เกิดโมเมนต์ของแรง (Moment of a force )หรือเรียกย่อ ๆว่าโมเมนต์หรือทอร์ก (Torque)

โมเมนต์ = แรงxระยะทางตั้งฉากจากจุดหมุนไปยังแนวแรง

โมเมนต์เป็นปริมาณเวคเตอร์

จากรูป ได้สมการ M =F.r 
r คือระยะห่างจากจุดหมุนไปยังแนวแรง หน่วยเป็น เมตร (m)
F คือแรงที่กระทำต่อวัตถุ หน่วยเป็น นิวตัน (N)
M คือโมเมนต์ของแรง หน่วยเป็น นิวตัน-เมตร (N.m)

                                         

วัตถุที่สมดุลต่อการหมุน โมเมนต์ของแรงกระทำจะเป็นไปตามเงื่อนไขคือ

โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา = โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา
ถ้าให้โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกาเป็นโมเมนต์ที่มีเครื่องหมายบวก โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกามีเครื่องหมายลบ 

เราสรุปได้ว่า วัตถุที่สมดุลต่อการหมุน  ผลรวมทางคณิตศาสตร์ของโมเมนต์มีค่าเป็นศูนย์  

 ข้อสังเกต 
1.    วัตถุที่สมดุลต่อการหมุน   วัตถุนั้นจะอยู่ในสภาพนิ่งและไม่หมุน หรือหมุนด้วยอัตราเร็วคงที่
2.    วัตถุสมดุลต่อการหมุนและสมดุลต่อการเลื่อนตำแหน่งพร้อมๆกันเรียกว่าสมดุลที่สมบูรณ์

การคำนวณเมื่อมีแรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุแล้ว วัตถุสมดุลผลที่ได้คือ                       

ตัวอย่าง

1. คานอันหนึ่งมีน้ำหนักสม่ำเสมอยาว 1 เมตร วางอยู่บนที่รองรับตรงจุดกึ่งกลาง ดังรูป และมีน้ำหนัก  10  20  และ 30 นิวตัน แขวนอยู่ที่จุด  ก  ข  และ  ค   ตามลำดับ จงหา
       1. จะต้องนำวัตถุหนัก 20 นิวตัน แขวนที่จุดใดคานจึงอยู่ในแนวระดับ
       2. จะมีวิธีทำให้คานอยู่ในแนวระดับอย่างไรโดยไม่ต้องนำน้ำหนักมาเพิ่ม

แนวคิด  ข้อ 1

          1. โมเมนต์ = แรง x ระยะทางจากจุดหมุนไปยังแนวแรง
          2. จากรูปจะเห็นว่าโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา = 30x0.50 = 15  N.m
                   และ โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา = 10x0.50 + 20x0.30 = 5+6 = 11 N.m
          3. ถ้าจะทำให้คานสมดุล(อยู่ในแนวระดับ) ต้องเอาน้ำหนัก 20  นิวตัน  มาแขวนทางด้าน
                    ทางด้านน้ำหนัก  10 และ 20 นิวตันแขวนอยู่จึงทำให้คานสมดุล
          4. เมื่อคานสมดุล  ได้ โมเมนต์รวมตามเข็มนาฬิกา  =  โมเมนต์รวมทวนเข็มนาฬิกา

วิธีทำ   สมมุติว่าแขวนน้ำหนัก  20 นิวตัน  ทางด้าน  น้ำหนัก  10 และ  20 นิวตัน  ดังรูป

          ข้อ 2. จะมีวิธีทำให้คานอยู่ในแนวระดับอย่างไรโดยไม่ต้องนำน้ำหนักมาเพิ่ม
                    สามารถทำได้โดยทำให้โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกาเท่ากับโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกามีวิธีทำดังนี้
                              1. เลื่อนน้ำหนัก  20  นิวตันมาไว้ทาง น้ำหนัก 10 นิวตัน จนอยู่ตำแหน่งเดียวกัน
                                        ทำให้ โมเมนต์รวมตามเข็มนาฬิกา  =   โมเมนต์รวมทวนเข็มนาฬิกา

  2.  เลื่อนน้ำหนัก 30 นิวตัน  เข้ามาหาจุดหมุนจนมีโมเมนต์ 11 N.m 
ซึ่งเท่ากับโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา   

2. นาย ก และ ข  ช่วยกันหามวัตถุซึ่งหนัก 300 นิวตัน  โดยใช้คานยาว 5 เมตร ถ้าแขวนวัตถุนั้นห่างจาก
นาย ก 3 เมตร  นาย ก และ นาย ข ต้องออกแรงคนละเท่าไร  และถ้าจะให้นาย  ก ออกแรงน้อยกว่านี้ 
จะต้องแขวนวัตถุที่ตำแหน่งใด

แนวคิด  
เมื่อคานสมดุล  แรงขึ้น =  แรงลง 
ดังนั้น แรงที่นาย ก  และ นาย ข  ออกต้องเท่ากับ  300  นิวตัน 
ถ้าให้  นาย ก  ออกแรง  =   X    นาย  ข   ออกแรง   =  300 -  X

   วิธีทำ

                             เมื่อคานสมดุล  แรงขึ้น =  แรงลง 
ดังนั้น แรงที่นาย ก  และ นาย ข  ออกต้องเท่ากับ  300  นิวตัน 
ถ้าให้  นาย ก  ออกแรง  =   X    นาย  ข   ออกแรง   =  300 -  X
กำหนดให้ จุดหมุนอยู่ที่นาย  ข
                        โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา =  โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา
                                                   X (5)    =    300(2)
                                                          X   =   120    นิวตัน  
นั่นคือ   นาย ก  ออกแรง   120  นิวตัน
นาย ข  ออกแรง   300 -  120  = 180   นิวตัน
ถ้าต้องการให้  นาย ก  ออกแรงน้อยกว่านี้  ต้องเลื่อนมวล  300  นิวตัน  
ให้ออกห่างจาก ก  ให้มากขึ้น